El flujo lagrangiano de la curvatura media

Abstract

[ES] El flujo de la curvatura media (FCM) es posiblemente la ecuación de evolución de subvariedades más importante en el ámbito del Análisis Geométrico. Bajo el proceso del FCM, una subvariedad se deforma en la dirección de su curvatura media. En general, el FCM deja de existir tras un tiempo finito y es de especial interés el estudio de las singularidades que se forman. Esta tesis doctoral se centra en unas clases especiales de soluciones del FCM lagrangiano que sirven de modelo para las singularidades y que preservan la forma de las subvariedades que evolucionan: las soluciones autosemejantes y los solitones de traslación. En esta tesis se obtienen no sólo nuevas familias de ejemplos sino también resultados de clasificación bajo hipótesis adicionales relacionadas con problemas variacionales naturales en el contexto lagrangiano. Asimismo, se consiguen resultados globales sobre soluciones autosemejantes que conducen a caracterizaciones geométricas del toro de Clifford.

[EN]The mean curvature flow is possibly the most important geometric evolution equation of submanifolds in Geometric Analysis. More specifically, the MCF is an evolution process under which a submanifold is deformed in the direction of its mean curvature vector. In general, the MCF fails to exist after a finite time, giving rise to a singularity. The main objective of this thesis is to study a special class of solutions that preserve the shape of the evolving submanifolds: the self-similar solutions, they are those whose evolution is by homotheties of the ambient space, and the translating solitons, which are submanifolds evolving by translations of the ambient space with constant speed. In this thesis we obtain new families of examples and characterize them when we assume additional hypotheses related with natural variational problems in the Lagrangian setting, as well as, global results about the self-similar solutions which characterize the Clifford torus.