Minimal graphs in three-dimensional Killing submersions

Abstract

El objetivo de esta tesis es enriquecer la teoría de gráficos mínimos en sumersiones de Killing tridimensionales. Una sumersión de Killing es una sumersión Riemanniana de una variedad tridimensional E sobre una superficie Riemanniana M cuyas fibras son curvas integrales de un campo de Killing. En esta tesis, se abordan los siguientes problemas. En primer lugar, resolvemos el problema de Jenkins-Serrin para la ecuación de los grafos mínimos sobre dominios relativamente compactos de M con valores de frontera prescritos, posiblemente infinitos. En segundo lugar, tratamos el problema de Dirichlet para grafos de Killing mínimos sobre ciertos dominios no acotados de M y estudiamos la unicidad de soluciones sobre dominios no acotados de M, obteniendo estimaciones de tipo Collin-Krust. Finalmente, desarrollamos una dualidad conforme para grafos espaciales en sumersiones de Killing riemannianas y lorentzianas, con aplicaciones a la existencia de grafos enteros de curvatura media prescrita.

The goal of this thesis is to enrich the theory of minimal graphs in three-dimensional Killing submersions. A Killing submersion is a Riemannian submersion from a three-dimensional manifold E onto a Riemannian surface M whose fibers are integral curves of a Killing field. In this context, a Killing graph is a smooth section of the submersion. In this thesis, we study three problems. First, we solve the Jenkins-Serrin problem for the minimal surface equation over relatively compact domains of M with prescribed (possibly infinite) boundary values. Second, we solve the Dirichlet problem for minimal Killing graphs over certain unbounded domains of M, taking piecewise continuous boundary values, and study the uniqueness of solutions over unbounded domains of M obtaining general Collin-Krust type estimates. Finally, we develop a conformal duality for spacelike graphs in Riemannian and Lorentzian Killing submersions with applications to the existence of entire graphs with prescribed mean curvature.