Aplicación del procesamiento ampliamente lineal a la modelización y estimación de señales complejas

Abstract

[ES] La presente tesis doctoral muestra que la definición clásica de la condición de Markov y las caracterizaciones asociadas de las señales de Markov en sentido débil (MSD) son incorrectas para señales impropias. Esto motiva la introducción del concepto de señales de Markov ampliamente lineales, señales MAL, para la que se dan diferentes caracterizaciones, basadas tanto en propiedades de segundo orden como en las representaciones de espacios de estado, desde un punto de vista AL. El análisis se realiza tanto en direcciones hacia delante como hacia atrás en el tiempo. También, se proporciona una manera de comprobar la condición MAL, similar a la bien conocida propiedad triangular, y se determina la estructura de correlación de este tipo de señales. En el campo de la modelización se sugieren las representaciones MAL hacia delante y hacia atrás, se estudia la interrelación entre ellos y se establece la relación con las representaciones autorregresivas AL definidas en Picinbono y Bondon. Estas representaciones Markovianas también se convierten en un punto de partida para la aplicación de diferentes algoritmos recursivos de estimación. Así, la aplicación del Filtro de Kalman en las representaciones hacia delante y hacia atrás ofrece diferentes rendimientos sobre algoritmos AL de predicción, filtrado y alisado. La cuestión principal, que se ilustra a través de un ejemplo, es que además de la ganancia de rendimiento del tratamiento AL, también se obtienen mejores resultados en simulación y modelización. Del mismo modo, esta tesis doctoral estudia el problema de alisado para señales impropias ampliamente factorizables, es decir, aquellas cuya función de correlación aumentada tiene forma de núcleo factorizable. En concreto, basándose en la información de correlación y bajo un tratamiento AL, se proporcionan algoritmos de alisado de punto fijo, lineales y no lineales, para este tipo de señales. En primer lugar, se considera que la señal es observada a través de una ecuación lineal la cual incluye una correlación entre la señal y el ruido de la observación. Para este problema, se proporciona un procedimiento recursivo para el estimador AL de alisado de punto fijo de la señal, así como su error. A continuación, se estudia el problema de alisado de punto fijo AL basado en observaciones no lineales siguiendo la misma metodología que la expuesta en el EKF. En este caso, la ecuación de observaciones consta de una función no lineal de la señal y un ruido aditivo incorrelado con la señal. Finalmente, se desarrollan dos ejemplos numéricos, donde se ilustra el buen comportamiento de los algoritrnos propuestos. frente a los derivados de un procesamiento EL.

[EN]The insufficiency to guarantee the existence of a state-space representation of the classical wide-sense Markov condition for improper complex-valued signals is shown and a generalization is suggested. New characterizations for wide-sense Markov signals which are based either on second- order properties or on state-space representations are studied in a widely linear setting. Moreover, the correlation structure of such signals is revealed and interesting results on modeling in both the forwards and backwards time directions are proved. As an application we give some recursive estimation algorithms obtained from the Kalman filter. The performance of the proposed results is illustrated in a numerical example in the areas of estimation and simulation. The fixed-point smoothing estimation problem is analyzed for a class of improper complex- valued signals, called widely factorizable, characterized because the correlation of the augmented vector formed by the signal and its conjugate is a factorizable kernei. For this type of signal, widely linear processing is the most suitable approach considering the complete information of the augmented correlation function. Then, from only the knowledge of the second order properties of the augmented vectors involved, linear and nonlinear smoothing algorithms are provided without the necessity of postulating a state-space modelo Moreover, in the linear case, recursive formulas for computing the fixed-point smoothing estimation error are proposed.